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Progressão Geométrica

Produto dos termos de uma P.G. finita: Conceito

Considere $(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}, \ ..., \ a_{n})$ como sendo uma P.G. com $q \neq 0$. O produto dos termos dessa P.G. será dada por:

$P_{n} = a_{1} . a_{2} . a_{3} \ .\ ... \ . \ a_{n-2} . a_{n-1} . a_{n} \quad$ $(1)$

Podemos escrever a equação acima alterando a ordem dos fatores.

$P_{n} = a_{n} . a_{n-1} . a_{n-2} \ . \ ... \ . \ a_{3} . a_{2} . a_{1} \quad$ $(2)$

Agora multiplicando membro a membro as equações $(1)$ e $(2)$ temos:

$P_{n}^{2} = \left( a_{1} . a_{n} \right) . \left( a_{2} . a_{n-1} \right) . \left( a_{3} . a_{n-2} \right) \ . \ ... \ . \ \left( a_{n-2} . a_{3} \right) . \left( a_{n-1} . a_{2} \right) . \left( a_{n} . a_{1} \right) \quad$ $(3)$

O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma $P.G. \hspace{0.3em} \left( a_{1} . a_{2} . a_{3} \ . \ ... \ . \ a_{n-2} . a_{n-1} . a_{n} \right)$ é igual ao produto desses extremos:

$a_{n-1} . a_{2} = a_{n-2} . a_{3} = ... = a_{1} . a_{n}$

Como os produtos ocorrem $n$ vezes na equação $(3)$ temos:

$P_{n}^{2} = \left( a_{1} . a_{n} \right)^{n} \quad$ $(4)$

Substituindo $a_{n}$ na equação $(4)$ pela fórmula do termo geral obtemos:

$P_{n}^{2} = \left( a_{1} . a_{1} . q^{n-1} \right)^{n} $

$P_{n}^{2} = \left( a_{1}^{2} . q^{n-1} \right)^{n}$

$P_{n}^{2} = a_{1}^{2n} . q^{n(n-1)}$

$P_{n} = a_{1}^{\left( \dfrac{2n}{2} \right)} . q^{\dfrac{n(n-1)}{2}}$

$\colorbox{lightgreen}{$P_{n} = a_{1}^{n} . q^{\dfrac{n(n-1)}{2}}$}$