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Progressão Geométrica

Soma dos termos de uma P.G. finita: Conceito

Considere $\left( a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}, \ ..., \ a_{n} \right)$ como sendo uma P.G. de razão $q \ (q \neq 0)$. A soma dos termos dessa P.G. será dada por:

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n-2} + a_{n-1} + a_{n} \quad$ $(1)$

Vamos multiplicar os dois lados da igualdade pela razão $q$:

$S_{n} . q = q . \left( a_{1} + a_{2} + ... + a_{n-2} + a_{n-1} + a_{n} \right)$

$S_{n} . q = a_{1} . q + a_{2} . q + ... + a_{n-2} . q + a_{n-1} . q + a_{n} . q$

Sabemos que:

$a_{2} = a_{1} . q$

$a_{3} = a_{2} . q$

$...$

$a_{n-1} = a_{n-2} . q$

$a_{n} = a_{n-1} . q$

Substituindo na equação acima temos:

$S_{n} . q = a_{2} + a_{3} + ... + a_{n-1} + a_{n} + a_{n} . q \quad$ $(2)$

Subtraindo a equação $(2)$ da $(1)$ temos:

$S_{n} . q - S_{n} = \left( a_{2} + a_{3} + ... + a_{n-1} + a_{n} + a_{n} . q \right) - \left( a_{1} + a_{2} + ... + a_{n-1} + a_{n} \right)$

$S_{n} . q - S_{n} = \left( \cancel{a_{2}} + \cancel{a_{3}} + \cancel{...} + \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n}} + a_{n} . q \right) - \left( a_{1} + \cancel{a_{2}} + \cancel{...} + \right.\cancel{a_{n-1}} $
$ \hspace{6em} + \left.\cancel{a_{n}} \right)$

$S_{n} . q - S_{n} = a_{n} . q - a_{1}$

$S_{n}(q - 1) = a_{n} . q - a_{1}$

Vamos substituir $a_{n}$ pela fórmula do termo geral de uma P.G.:

$S_{n} (q - 1) = (a_{1} . q^{n-1}) . q - a_{1}$

$S_{n} (q - 1) = (a_{1} . q^{n-1} . q - a_{1})$

$S_{n} (q - 1) = (a_{1} . q^{n-1+1} - a_{1})$

$S_{n} (q - 1) = (a_{1} . q^{n} - a_{1})$

$S_{n} (q - 1) = a_{1} . (q^{n} - 1)$

$\colorbox{lightgreen}{$S_{n}=\dfrac{a_{1} \left( q^{n} - 1 \right) }{ \left( q - 1 \right) }$} \quad$ $\left( q \neq 1 \right)$