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Polinômio

Divisão de um polinômio por $(x-a).(x-b)$

Se um polinômio $P(x)$ é divisível por $(x - a)$ e $(x - b)$, portanto $P(a) = 0$ e $P(b) = 0$, então $P(x)$ é divisível por $(x - a).(x - b)$. A recíproca também é verdadeira, isto é, se $P(x)$ é divisível por $(x - a).(x - b)$, então $P(x)$ é divisível por $(x - a)$ e $(x - b)$.

Veja um exemplo:

Qual o valor de $m$ e $n$ para que o polinômio $P(x) = x^{2} - mx + n$ seja divisível por $(x - 3).(x + 1)$?

1° Vamos calcular as raízes de $(x - 3)$ e $(x + 1)$:

$0 = x - 3$

$x = 3 \qquad$ $(a=3)$

$0 = x +1$

$x = -1 \qquad$ $(b = -1)$

2° Para o polinômio ser divisível por $x-3$ e $x+1$, $P(3)=0$ e $P(-1)=0$. Substituindo os valores de $a$ e $b$ no polinômio obtemos:

$P(3) = (3)^{2} \hspace{0.2em} - \hspace{0.2em} m.(3) + n$

$0 = 9 \hspace{0.2em} - \hspace{0.2em} 3.m + n$

$3.m \hspace{0.2em} - \hspace{0.2em} n = 9$

$P(-1) = (-1)^{2} \hspace{0.2em} - \hspace{0.2em} m.(-1) + n$

$0 = 1 + m + n$

$- m \hspace{0.2em} - \hspace{0.2em} n = 1$

3° Resolvendo o sistema de equações abaixo:

$\begin{cases} 3.m-n=9 \\ -m-n=1 \end{cases}$

Obtemos:

$m = 2$

$n = -3$