Fórmulas Logaritmo

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Logaritmo

1. Definição de logaritmo

A igualdade $a^{x}=b$ , onde $a$ e $b$ são positivos e $a \neq 1$ , o expoente $x$ é denominado logaritmo de $b$ na base $a$.

$x = log_{a}(b)$

2. Casos particulares

$log_{a}(1) = 0$

$log_{a}(a) =1$

$a^{log_{a}(b)} = b$

Se $ \ log_{a}(b) = log_{a}(c)$ , então $b = c$

3. Propriedades dos logaritmos

$log_{a}(b.c) = log_{a}(b)+log_{a}(c) $

$log_{a} \left( \frac{b}{c} \right) = log_{a}(b)-log_{a}(c) $

$log_{a}(b^{a}) = a.log_{a}(b) $

$log_{a^{c}}(b) = \frac{1}{c}.log_{a}(b)$

4. Inversão de logaritmando

$log_{a} \left( \frac{1}{b} \right) = log_{a} \left( b^{-1} \right) = - \ log_{a}(b)$

5. Inversão de base

$log_{ \frac{1}{a}}(b) = log_{a^{-1}}(b) = - \ log_{a}(b)$

6. Quando o logaritmando é uma raiz

$log_{a}\left( \sqrt[n]{b} \right) = log_{a}\left( b^{\frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n}.log_{a}(b)$

7. Quando a base é uma raiz

$log_{\sqrt[n]{a}}(b) = \ log_{a^{\frac{1}{n}}}(b) = n. log_{a}(b)$

8. Inequações logarítmicas

Para a > 1:

$log_{a}(x) > log_{a}(y) \, \, \Longleftrightarrow \, \, x > y $

$log_{a}(x) < log_{a}(y) \, \, \Longleftrightarrow \, \, x < y$

Para a < 1:

$log_{a}(x) > log_{a}(y) \, \, \Longleftrightarrow \, \, x < y $

$log_{a}(x) < log_{a}(y) \, \, \Longleftrightarrow \, \, x > y$

9. Característica e mantissa

Sendo $log(b)$ o logaritmo de $b$ na base $10$:

$log(b)=c+m$

$c$	:	característica do $log(b) \quad$ $(c \in \mathbb{Z})$
$m$	:	mantissa do $log(b) \quad$ $(0 \leq m < 1)$

10. Propriedade fundamental da mantissa

Dois números cujas representações decimais só diferem pela posição da vírgula, têm logaritmos decimais com a mesma mantissa.

Exemplo:

0,234 e 23,4 têm a mesma mantissa. (mantissa = 3692)

11. Logaritmo neperiano

Os logaritmos neperianos (ou naturais) são os que têm base $e \approx 2,718$.

$log_{e}(b) = \ln b$

12. Mudança de base de um logaritmo

Mudança para uma base c qualquer:

$log_{a}(b)=\dfrac{log_{c}(b)}{log_{c}(a)}$

13. Inverso de um logaritmo

$log_{a}(b)= \dfrac{1}{log_{b}(a)}$