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Fatoração

Fatoração de incógnitas: Cubo da soma de dois números

Imagine dois números quaisquer, vamos chamar eles de A e B. Se tivermos a seguinte soma:

$A^{3} +3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3}$

Temos um jeito de fatorar esse número resultante desta soma. Ele será igual à:

$A^{3} +3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3} = (A+B).(A+B).(A+B) $

Veja a prova através da Propriedade Distributiva:

Calculamos nos slides anteriores que:

$(A+B).(A+B) = A^{2} +2AB + B^{2}$

Então:

$\style{color:blue}{(A+B).(A+B)}.\style{color:red}{(A+B)} = \style{color:blue}{\left( A^{2} +2AB + B^{2} \right)}.\style{color:red}{(A+B)}$

Agora, utilizando a Propriedade Distributiva:

$\style{color:blue}{\left( A^{2} +2AB + B^{2} \right)}.\style{color:red}{(A+B)} = \style{color:blue}{A^{2}}.\style{color:red}{A} + \style{color:blue}{A^{2}}.\style{color:red}{B} + \style{color:blue}{2AB}.\style{color:red}{A} + \style{color:blue}{2AB}.\style{color:red}{B} + \style{color:blue}{B^{2}}.\style{color:red}{A} + \style{color:blue}{B^{2}}.\style{color:red}{B}$

Simplificando:

$\style{color:blue}{\left( A^{2} +2AB + B^{2} \right)}.\style{color:red}{(A+B)} = A^{3} + A^{2}B + 2A^{2}B + 2AB^{2} + B^{2}A + B^{3} $

Veja que:

$A^{2}B + 2A^{2}B = 3A^{2}B$

$2AB^{2} + B^{2}A = 3AB^{2}$

Então:

$(A+B)(A+B)(A+B) = A^{3} + 3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3} $

Então, para deixar a equação mais bonita e simples de ler, podemos reescrever do seguinte jeito:

$(A+B)^{3} = A^{3} + 3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3} $