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Análise Combinatória

Combinação Simples: Entendendo a fórmula de Combinação Simples

A fórmula de Combinação Simples é a fórmula de Arranjo Simples, porém sem levar em consideração a ordem dos objetos.

Por exemplo:

Vamos fazer uma fila de 3 pessoas com as seguintes pessoas: Alex, Bruno, Caio e Daniel.

Para resolver este problema, podemos usar a fórmula de Arranjo Simples. O número de objetos $(n)$ é o número de pessoas, que serão agrupados em 3 posições $(p)$ na fila.

$A_{s(n,p)}=\dfrac{n!}{(n-p)!} = \dfrac{4.3.2.1}{(4-3)!} = \dfrac{4.3.2.1}{1!} = 24$

A fórmula de Arranjo Simples nos diz que há 24 maneiras de montarmos esta fila. Vamos ver todas as possibilidades:

Considere:
$A$ = Alex
$B$ = Bruno
$C$ = Caio
$D$ = Daniel

$ABC \qquad ABD \qquad ACD \qquad BCD$
$ACB \qquad ADB \qquad ADC \qquad BDC$
$BAC \qquad BAD \qquad CAD \qquad CBD$
$BCA \qquad BDA \qquad CDA \qquad CDB$
$CAB \qquad DAB \qquad DAC \qquad DBC$
$CBA \qquad DBA \qquad DCA \qquad DCB$

Estas são todas as 24 possibilidades de se formar esta fila. Agora, imagine que você não queira formar uma fila, mas sim um grupo de pessoas para realizar algum trabalho. Neste caso a ordem não importaria. Um grupo formado por Alex, Bruno e Caio é igual a um grupo formado por Caio, Bruno e Alex.

Veja que em cada uma das colunas acima os grupos são os mesmos:

$ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA$

$ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA$

$ACD = ADC = CAD = CDA = DAC = DCA$

$BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB$

Para cada grupo distinto de 3 pessoas (ABC, ABD, ACD e BCD), ao fazermos uma fila, eles irão cada um se repetir 3! vezes. Logo, se pegarmos o total de filas encontradas pela fórmula de Arranjo Simples (24) e dividirmos por 3!, encontraremos o número de grupos de pessoas.

Veja que se a fila fosse formada por 4 pessoas, pelo Princípio Multiplicativo, teríamos 4! possibilidades para cada grupo distinto de 4 pessoas. Mais genericamente, se tivéssemos filas de $p$ pessoas, teríamos $p!$ possibilidades para cada grupo distinto de $p$ pessoas. Ou seja, para encontrarmos o número de grupos de pessoas, devemos calcular através da fórmula de Arranjo Simples e dividir por $p!$

$C_{s(n,p)} = \dfrac{A_{s(n,p)}}{p!} = \dfrac{ \dfrac{n!}{ (n-p)! }}{ \hspace{2.5em} p! \hspace{2.5em}} = \dfrac{n!}{(n-p)!} \ . \ \dfrac{1}{p!} = \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$}$