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Análise Combinatória

Combinação com Repetição: Entendendo a Fórmula de Combinação com Repetição

Imagine que você está em um supermercado e deseja comprar 8 refrigerantes para uma festa. Você pode escolher entre coca, guaraná e fanta. Você pode comprar 8 refrigerantes da maneira que quiser. Tudo coca, tudo guaraná, tudo fanta, pode comprar 3 coca, 4 guaraná e 1 fanta... Quantas maneiras você tem de fazer esta escolha?

Para resolver problema deste tipo existe um método. O método dos pontos e traços. Imagine 8 pontos representando os 8 refrigerantes:

$\bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet$

Vamos agora utilizar 2 traços verticais para termos 3 grupos de pontos diferentes. O objetivo disso é para cada grupo representar uma quantidade de um tipo de refrigerante. Por exemplo:

$\bullet \quad \bullet \quad \left| \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \right| \quad \bullet$

Vamos falar que:

grupo 1 = coca
grupo 2 = guaraná
grupo 3 = fanta

Desta maneira, no exemplo acima temos: 2 cocas, 5 guaranás e 1 fanta. Veja:

$\underbrace{\bullet \quad \bullet}_{2 \ cocas} \quad | \quad \underbrace{\bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet}_{5 \ guaranás} \quad | \quad \underbrace{\bullet}_{1 \ fanta}$

Veja que para cada lugar que coloquemos os traços teremos:
- Uma representação única das possibilidades de quantitativo do refrigerante.
- Todas as possibilidades de quantitativo podem ser representadas desta maneira.
- Nenhuma outra possibilidade é possível de ser representada.

Em outras palavras, podemos substituir o problema original do refrigerante por este de pontos e traços.

Para ficar mais claro que isso é de fato o caso, vamos ver vários exemplos:

0 cocas - 0 guaranás - 8 fantas:

$\left| \right| \hspace{0.3em} \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet$

2 cocas - 0 guaranás - 6 fantas:

$ \bullet \quad \bullet \quad \left| \right| \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet$

0 cocas - 5 guaranás - 3 fantas:

$ \left| \hspace{0.3em} \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \right| \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet$

3 cocas - 5 guaranás - 0 fantas:

$ \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \left| \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \hspace{0.3em} \right|$

8 cocas - 0 guaranás - 0 fantas:

$ \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \quad \bullet \hspace{0.3em} \left| \right|$

Podemos resolver este problema de pontos e traços usando a fórmula de Permutação com Repetição. Nosso n será igual a soma dos pontos e traços (8+2=10). e dividiremos por 8! e 2!

$P^{(a,b,...)}_{n} = \dfrac{n!}{(a!).(b!). \ ...} = \dfrac{10!}{8!.2!} = \dfrac{10.9.8!}{8!.2.1} = \dfrac{10.9}{2} = 45$

Os pontos são a quantidade de refrigerantes a serem comprados, ou seja, o agrupamento que é o p da fórmula de combinação com repetição.

Os traços são os tipos de refrigerantes subtraído de 1, que é o nosso n da fórmula de Combinação com Repetição subtraído de 1, ou seja, n - 1.

Então,o a da fórmula de Permutação com Repetição é a quantidade de pontos que é o p. O b da fórmula de Permutação com Repetição é a quantidade de traços, que é o n da fórmula de Combinação com Repetição subtraído de 1, ou seja n-1.

Resumindo

n será n + p -1
a será p
b será n-1

$\dfrac{n!}{(a!).(b!). \ ...} \qquad \longrightarrow \qquad \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{(n+p-1)!}{(p)!.(n-1)!}$}$